函數(shù)方案設(shè)計(jì)難題

　　函數(shù)，最早由中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學(xué)》。以下是小編收集的方案設(shè)計(jì)難題，歡迎查看！

　　一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它與一次方程、一次不等式有密切聯(lián)系，在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用。例如，利用一次函數(shù)等有關(guān)知識(shí)可以在某些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中作出具體的方案決策。近幾年來(lái)一些省市的中考或競(jìng)賽試題中出現(xiàn)了這方面的應(yīng)用題，這些試題新穎靈活，具有較強(qiáng)的時(shí)代氣息和很強(qiáng)的選拔功能。

　　1．生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)

　　例1  某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤(rùn)1200元。

　　(1)要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案?請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)；

　　(2)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)是y(元)，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)是x，試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明(1)中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

　　(98年河北)

　　解  (1)設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品是(50-x)件。由題意得

　　解不等式組得         30≤x≤32。

　　因?yàn)閤是整數(shù)，所以x只取30、31、32，相應(yīng)的(50-x)的值是20、19、18。

　　所以，生產(chǎn)的方案有三種，即第一種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；第二種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；第三種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件。

　　(2)設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的件數(shù)是x，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數(shù)是50-x。由題意得

　　y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)

　　因?yàn)?-500<0,   所以  此一次函數(shù)y隨x的增大而減小，

　　所以  當(dāng)x=30時(shí)，y的值最大。

　　因此，按第一種生產(chǎn)方案安排生產(chǎn)，獲總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是：-500·3+6000=4500(元)。

　　本題是利用不等式組的知識(shí)，得到幾種生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)，再利用一次函數(shù)性質(zhì)得出最佳設(shè)計(jì)方案問(wèn)題。

　　2.調(diào)運(yùn)方案設(shè)計(jì)

　　例2  北京某廠和上海某廠同時(shí)制成電子計(jì)算機(jī)若干臺(tái)，北京廠可支援外地10臺(tái)，上海廠可支援外地4臺(tái)，現(xiàn)在決定給重慶8臺(tái)，漢口6臺(tái)。如果從北京運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是4百元/臺(tái)、8百元/臺(tái)，從上海運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是3百元/臺(tái)、5百元/臺(tái)。求：

　　(1)若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海運(yùn)往漢口應(yīng)是多少臺(tái)?

　　(2)若要求總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)8200元，共有幾種調(diào)運(yùn)方案?

　　(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低總運(yùn)費(fèi)是多少元?

　　解  設(shè)上海廠運(yùn)往漢口x臺(tái)，那么上海運(yùn)往重慶有(4-x)臺(tái)，北京廠運(yùn)往漢口(6-x)臺(tái)，北京廠運(yùn)往重慶(4+x)臺(tái)，則總運(yùn)費(fèi)W關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系式：

　　W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。

　　(1) 當(dāng)W=84(百元)時(shí)，則有76+2x=84,解得x=4。

　　若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海廠應(yīng)運(yùn)往漢口4臺(tái)。

　　(2) 當(dāng)W≤82(元)，則

　　解得0≤x≤3，因?yàn)閤只能取整數(shù)，所以x只有四種可的能值：0、1、2、3。

　　答：若要求總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)8200元，共有4種調(diào)運(yùn)方案。

　　(3) 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)W=76+2x隨著x的增大而增大，又因?yàn)?≤x≤3，所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低總運(yùn)費(fèi)是7600元。

　　此時(shí)的調(diào)運(yùn)方案是：上海廠的4臺(tái)全部運(yùn)往重慶；北京廠運(yùn)往漢口6臺(tái)，運(yùn)往重慶4臺(tái)。

　　本題運(yùn)用了函數(shù)思想得出了總運(yùn)費(fèi)W與變量x的一般關(guān)系，再根據(jù)要求運(yùn)用方程思想、不等式等知識(shí)解決了調(diào)運(yùn)方案的設(shè)計(jì)問(wèn)題。并求出了最低運(yùn)費(fèi)價(jià)。

　　3．營(yíng)方案的設(shè)計(jì)

　　例3某新建商場(chǎng)設(shè)有百貨部、服裝部和家電部三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，共有190名售貨員，計(jì)劃全商場(chǎng)日營(yíng)業(yè)額(指每日賣出商品所收到的總金額)為60萬(wàn)元。由于營(yíng)業(yè)性質(zhì)不同，分配到三個(gè)部的售貨員的人數(shù)也就不等，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，各類商品每1萬(wàn)元營(yíng)業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1，每1萬(wàn)元營(yíng)業(yè)額所得利潤(rùn)情況如表2。

　　商場(chǎng)將計(jì)劃日營(yíng)業(yè)額分配給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，設(shè)分配給百貨部、服裝部和家電部的營(yíng)業(yè)額分別為x(萬(wàn)元)、y(萬(wàn)元)、z(萬(wàn)元)(x,y,z都是整數(shù))。

　　(1) 請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示y和z；

　　(2) 若商場(chǎng)預(yù)計(jì)每日的總利潤(rùn)為C(萬(wàn)元)，且C滿足19≤C≤19.7，問(wèn)這個(gè)商場(chǎng)應(yīng)怎樣分配日營(yíng)業(yè)額給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部?各部應(yīng)分別安排多少名售貨員?

　　解  (1)由題意得 ，解得

　　(2)  C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。

　　因?yàn)? 19≤C≤19.7，  所以  9≤-0.35x+22.5≤19.7，解得  8≤x≤10。

　　因?yàn)? x,y,z是正整，且x為偶數(shù)，所以  x=8或10。

　　當(dāng)x=8時(shí)，y=23,z=29，售貨員分別為40人，92人，58人；

　　當(dāng)x=10時(shí)，y=20,z=30，售貨員分別為50人，80人，60人。

　　本題是運(yùn)用方程組的知識(shí)，求出了用x的代數(shù)式表示y、z，再運(yùn)用不等式和一次函數(shù)等知識(shí)解決經(jīng)營(yíng)調(diào)配方案設(shè)計(jì)問(wèn)題。

　　4．優(yōu)惠方案的設(shè)計(jì)

　　例4  某校校長(zhǎng)暑假將帶領(lǐng)該校市級(jí)“三好生”去北京旅游。甲旅行社說(shuō)：“如果校長(zhǎng)買全票一張，則其余學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)待�！币衣眯猩缯f(shuō)：“包括校長(zhǎng)在內(nèi)，全部按全票價(jià)的6折(即按全票價(jià)的60%收費(fèi))優(yōu)惠�！比羧�票價(jià)為240元。

　　(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲旅行社收費(fèi)為y甲，乙旅行社收費(fèi)為y乙，分別計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi)(建立表達(dá)式)；

　　(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)是多少時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣；

　　(3)就學(xué)生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠。

　　解  (1)y甲=120x+240,  y乙=240·60%(x+1)=144x+144。

　　(2)根據(jù)題意，得120x+240=144x+144,  解得  x=4。

　　答：當(dāng)學(xué)生人數(shù)為4人時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣多。

　　(3)當(dāng)y甲>y乙，120x+240>144x+144，  解得  x<4。

　　當(dāng)y甲<y乙,120x+240<144x+144, x="">4。

　　答：當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于4人時(shí)，乙旅行社更優(yōu)惠；當(dāng)學(xué)生人數(shù)多于4人時(shí)，甲旅行社更優(yōu)惠；本題運(yùn)用了一次函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，解決了優(yōu)惠方案的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

　　綜上所述，利用一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及不等式的整數(shù)解與方程的有關(guān)知識(shí)解決了實(shí)際生活中許多的方案設(shè)計(jì)問(wèn)題，如果學(xué)生能切實(shí)理解和掌握這方面的知識(shí)與應(yīng)用，對(duì)解決方案問(wèn)題的數(shù)學(xué)題是很有效的。

　　練習(xí)

　　1．某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米，乙種布料26米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn)L、M兩種型號(hào)的童裝共50套，已知做一套L型號(hào)的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號(hào)的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利潤(rùn)30元。設(shè)生產(chǎn)L型號(hào)的童裝套數(shù)為x，用這批布料生產(chǎn)這兩種型號(hào)的童裝所獲利潤(rùn)為y(元)。

　　(1)寫(xiě)出y(元)關(guān)于x(套)的函數(shù)解析式；并求出自變量x的取值范圍；

　　(2)該廠在生產(chǎn)這批童裝中，當(dāng)L型號(hào)的童裝為多少套時(shí)，能使該廠所獲的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?

　　2．A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現(xiàn)要把化肥運(yùn)往C、D兩農(nóng)村，如果從A城運(yùn)往C、D兩地運(yùn)費(fèi)分別是20元/噸與25元/噸，從B城運(yùn)往C、D兩地運(yùn)費(fèi)分別是15元/噸與22元/噸，現(xiàn)已知C地需要220噸，D地需要280噸，如果個(gè)體戶承包了這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)，請(qǐng)幫他算一算，怎樣調(diào)運(yùn)花錢最小?

　　3．下表所示為裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤(rùn)。某汽車運(yùn)輸公司計(jì)劃裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷售(每輛汽車按規(guī)定滿載，并且每輛汽車只裝一種蔬菜)

　　(2)公司計(jì)劃用20輛汽車裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜36噸到B地銷售(每種蔬菜不少于一車)，如何安排裝運(yùn)，可使公司獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?  (1)若用8輛汽車裝運(yùn)乙、丙兩種蔬菜11噸到A地銷售，問(wèn)裝運(yùn)乙、丙兩種蔬菜的汽車各多少輛?

　　4．有批貨物，若年初出售可獲利2000元，然后將本利一起存入銀行。銀行利息為10%，若年末出售，可獲利2620元，但要支付120元倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)，問(wèn)這批貨物是年初還是年末出售為好?

　　答案：

　　1. (1) y=15x+1500；自變量x的取值范圍是18、19、20。

　　(2) 當(dāng)x=20時(shí)，y的最大值是1800元。

　　2. 設(shè)A城化肥運(yùn)往C地x噸，總運(yùn)費(fèi)為y元，則y=2x+10060  (0≤x≤200)，

　　當(dāng)x=0時(shí)，y的最小值為10060元。

　　3. (1) 應(yīng)安排2輛汽車裝運(yùn)乙種蔬菜，6輛汽車裝運(yùn)丙種蔬菜。

　　(2) 設(shè)安排y輛汽車裝運(yùn)甲種蔬菜，z輛汽車裝運(yùn)乙種蔬菜，則用［20-(y+z)］輛汽車裝運(yùn)丙種蔬菜。

　　得  2y+z+1.5［20-(y+z)］=36，化簡(jiǎn)，得   z=y-12，所以  y-12=32-2y。

　　因?yàn)? y≥1， z≥1， 20-(y+z)≥1，所以  y≥1， y-12≥1， 32-2y≥1，

　　所以          13≤y≤15.5。

　　設(shè)獲利潤(rùn)S百元，則S=5y+108，

　　當(dāng)y=15時(shí)，S的最大值是183，z=y-12=3， 20-(y+z)=2。

　　4. (1) 當(dāng)成本大于3000元時(shí)，年初出售好；

　　(2) 當(dāng)成本等于3000元時(shí)，年初、年末出售都一樣；

　　(3) 當(dāng)成本小于3000元時(shí)，年末出售好。