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《質(zhì)數(shù)和合數(shù)》課堂教學實錄
一、課前談話
師：今天有很多的人來到這里聽我們上課，你能找到這些人的一個共同特征嗎？
生：他們都是教師。
師：這只是我們的假設(shè)，你怎樣去證實這個猜想呢？
生1：找?guī)讉�人問一問。
生2：任意找一些人問一問他們是不是老師。
師：如果我們隨機地問了很多人，他們都是老師，我們基本上就可以確定我們的猜想。
師：但是如果有一個人找到了這樣一個共同特征：他們都是男的，你同意嗎？
生：不同意。
師：這是個顯然錯誤的說法，但是你怎樣反駁他呢？
生：我會告訴他，在我身邊就坐著一個女的。
師：這位同學這樣說能夠駁倒剛才的說法了嗎？
生：能。
師：聽課的人中還有其他的女同志，我們還用一個一個找出來嗎？
生：不用了。
師：同學們真聰明，要說明一類事物具有哪些共同的特征，我們可以隨機地抽取一些例子來研究、歸納；而要說明某個說法不成立，我們只要舉出一個反例就可以將它駁倒。比如要說明“都是男的”這個結(jié)論是錯誤的，我們只要指出有一個女的就可以了。
師：不知同學們注意沒有，在生活中經(jīng)常用到的考慮問題的方法，我們在研究數(shù)學問題時也時常用到。同學們這么聰明，我相信大家在今天的數(shù)學學習中會想出更多的解決問題的好方法。
[評析：看似隨意的談話，卻巧妙地從學生的生活經(jīng)驗中提取了常用的并恰恰是與本課學習密切相關(guān)的兩種思考數(shù)學問題的方法。]
二、復習導入
師：前面我們剛剛研究了能被2、5、3整除的數(shù)的特征，想一想，我們是怎樣進行研究的？
生1：在研究能被2整除的數(shù)的特征時，我們先找出了一些2的倍數(shù)，通過觀察，發(fā)現(xiàn)它們的個位總是0、2、4、6、8這幾個數(shù)。
生2：研究能被5整除的數(shù)的特征所用的方法與研究能被2整除的數(shù)的特征一樣，也是先找出一些5的倍數(shù)，再看它們有什么共同的地方？
生3：研究能被3整除的數(shù)的特征的方法也是這樣的。
師：通過對一些具體的數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)它們的一些共同特征，是我們在研究數(shù)的問題時所常用的方法，今天我們?nèi)詫⑦\用這樣的方法來認識兩個新的概念：質(zhì)數(shù)和合數(shù)（出示課題）
師：看到這個課題，你認為我們今天需要解決哪些問題？
生1：什么樣的數(shù)是質(zhì)數(shù)？什么樣的數(shù)是合數(shù)？
生2：質(zhì)數(shù)與合數(shù)有什么關(guān)系？
生3：這兩種數(shù)與我們前面學的知識有什么關(guān)系？
……
[評析：復習中側(cè)重對研究數(shù)學問題的方法策略的回顧，正是立足于為學生自主建構(gòu)概念提供準備。對課題的質(zhì)疑和猜想也事實上使學生完成了一個自主確立學習目標的過程，從而拉開了探究的序幕。]
三、建構(gòu)概念
1、為探究進行方法定向
師：一個數(shù)究竟是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，與它所含約數(shù)的情況有關(guān)，根據(jù)你前面研究數(shù)的經(jīng)驗，你打算怎樣去研究今天的問題？
生：首先隨便列舉幾個數(shù)，看看它們的約數(shù)具有怎樣的規(guī)律。
師：對，這是我們最近研究數(shù)的問題時經(jīng)常用的方法，今天我們?nèi)匀贿@樣去做。那么你打算選取哪些數(shù)來研究呢？
生1：我打算選擇100以內(nèi)的所有數(shù)。
生2：我打算選擇10、20、30、40、50。
生3：我打算選擇3、30、300、3000、30000。
……
�。ń處熢趯W生說的過程中有選擇地寫出一些數(shù)）
師：同學們的選擇都有自己的一些想法，不過如果去找30000的約數(shù)，或者把100以內(nèi)所有的數(shù)的約數(shù)都找出來，你覺得怎么樣？
生：太麻煩了！
師：由于時間的關(guān)系，我有個建議，我們先從幾個較小的數(shù)入手研究，同時也為了我們在研究時能夠互相交流，我們不妨都來選取2—12這幾個數(shù)（出示2—12各數(shù)），接受我這個建議嗎？
生：接受。
[評析：篩選合適的研究對象，是進行研究的前提，篩選的策略和方法也是整個研究策略的重要組成部分，讓學生經(jīng)歷對研究對象的篩選過程，為學生日后的自主探究積累了寶貴的經(jīng)驗。對1的回避使學生在自主探究時盡可能地避免了無關(guān)的干擾，教師的主導作用在此得以體現(xiàn)。]
2、寫出2—12各數(shù)的約數(shù)，初步體驗一個數(shù)所含約數(shù)的特征
……
3、自主發(fā)現(xiàn)中加深對概念的理解
師：請你仔細觀察這些數(shù)的約數(shù)的情況，從所含約數(shù)的情況來看，你覺得哪些數(shù)比較特殊？請你把這幾個數(shù)劃出來。
�。▽W生活動）
師：請你進一步觀察劃出來的這幾個數(shù)，它們有什么相同的地方？
師：把你的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)與同學交流交流。
�。▽W生小組交流）
師：誰來說一說，你選出了哪幾個數(shù)？它們特殊在哪里？
生1：我選擇了12，12的約數(shù)最多。
師：與這種想法相同的請舉手。（極少數(shù)幾個同學舉手）
生2：我選擇了2、3、5、7、11，它們都只有1和本身兩個約數(shù)。
師：與這種想法相同的請舉手。（大多數(shù)同學舉手）
生3：我認為每個數(shù)都有特殊的地方。
[評析：教者在這里采取了與傳統(tǒng)的簡單分類方法所不同的教學策略——“找出特殊的”，從實際的教學效果看，這一做法無疑使學生的思維與概念的本質(zhì)更為接近。]
4、選擇合理的分類，歸納概念
師：同學們的幾種選擇都有一定道理，而剛才大多數(shù)同學的發(fā)現(xiàn)就與我們今天學習的內(nèi)容密切相關(guān)。我們來進一步研究一下這幾個數(shù)，在這一類數(shù)中（指質(zhì)數(shù)），它們有幾個約數(shù)？
生：2個。
師：一個數(shù)如果只有兩個約數(shù)，那么是哪兩個？
生：1和它本身。
師：這樣的數(shù)還有嗎？你能舉出幾個嗎？
……
師：這樣的數(shù)有很多很多，象這樣，一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)，它也叫做素數(shù)。
（出示定義）
師：這里剩下的這一類數(shù)就叫做合數(shù)，你能說說看，一個怎么樣的數(shù)，叫做合數(shù)？
師：把你想到的說法在小組內(nèi)與同學交流。
�。▽W生小組交流）
師：一個怎么樣的數(shù)，叫做合數(shù)？誰來說一說？
生1：一個數(shù)如果有三個或者三個以上約數(shù)，它就是合數(shù)。
生2：一個數(shù)，如果除了1和它本身外還含有其他的約數(shù)，它就叫做合數(shù)。
……
師：你還能找到其他的合數(shù)嗎？
……
師：剛才有同學列舉了100、30、60，你是怎么發(fā)現(xiàn)它們是合數(shù)的？它們都有很多的約數(shù)，我們有必要將它們都找出來才能判斷是合數(shù)嗎？關(guān)鍵是看什么？
生：除了1和它本身是否還具有其他約數(shù)。
師：像這樣的合數(shù)我們寫得完嗎？
生：寫不完。
[評析：“質(zhì)數(shù)”概念的得出立足于學生的自主發(fā)現(xiàn)；隨后基于已經(jīng)構(gòu)建的“質(zhì)數(shù)”概念，學生又自主構(gòu)建出“合數(shù)”概念；而合數(shù)的判斷方法（事實上也是質(zhì)數(shù)的判斷方法）由學生通過對自己例舉合數(shù)過程的自我反省提升而來。在這一系列過程中，學生的主體作用得以充分發(fā)揮。]
5、完善概念
師：我們看看剛才幾位同學在剛上課時想選擇研究的一些數(shù)是什么數(shù)？
……
師：我們接著再來看幾個數(shù)，如果你認為出現(xiàn)的數(shù)是合數(shù)，你就站起來，如果你認為是質(zhì)數(shù)，你就坐端正。
�。ń處熞来纬鍪荆�20、22、37、31、35、29、87、100、1）
……
�。ó斪詈蟪霈F(xiàn)1時，大多數(shù)學生不知所措，有個別學生離開座位蹲在一旁）
師：你們怎么啦？你發(fā)現(xiàn)什么問題？
生：1只有一個約數(shù)1，它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。
師：1很特殊，比1大的數(shù)呢？
生：一個比1大的數(shù)至少有兩個約數(shù)，因此它不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。
師：在我們所研究的數(shù)中，只有1比較特殊，它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，而大于1的數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。
[評析：精心設(shè)計對前面所學知識的鞏固和應用過程，促使學生產(chǎn)生強烈的認知沖突，在教師的巧妙引導下，學生自我完善了概念。]
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