張齊華《加法交換律》課堂實錄

　　在日常學習、工作抑或是生活中，大家都不可避免地會接觸到課堂實錄吧，下面是小編整理的張齊華《加法交換律》課堂實錄，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

　　交換律是被普遍使用的一個數(shù)學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結(jié)果。下面是小編為你帶來的 張齊華《加法交換律》課堂實錄，歡迎閱讀。

　　師：喜歡聽故事嗎？

　　生：喜歡。

　　師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。聽完故事，想說些什么？（結(jié)合生發(fā)言板書：3+4=4+3）

　　師：觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

　　生1：我發(fā)現(xiàn)，交換兩個加數(shù)的位置和不變。(教師板書這句話)

　　師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發(fā)現(xiàn)和他很相似，但略有不同。(教師出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結(jié)論，你想說些什么？

　　生2：我覺得您(老師)給出的結(jié)論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結(jié)論能代表許多情況。

　　生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數(shù)相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。

　　師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”這樣的結(jié)論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結(jié)論當作一個猜想(教師將生1結(jié)論中的“�！备臑椤�？”)。既然是猜想，那么我們還得——

　　生：驗證。

　　師：怎么驗證呢？

　　生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？

　　師：怎樣的例子，能否具體說說？

　　生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數(shù)的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可）

　　師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？

　　生2：五、六個吧。

　　生3：至少要十個以上。

　　生4：我覺得應該舉無數(shù)個例子才行。不然，永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點頭贊同）

　　生5：我反對！舉無數(shù)個例子，那得舉到什么時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結(jié)論！

　　師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數(shù)位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？（學生贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。）

　　師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現(xiàn)的兩種不同的情況。

　　（教師展示：1．先寫出12＋23和23＋12，計算后，再在兩個算式之間添上“＝”。2．不計算，直接從左往右依次寫下“12＋23＝23＋12”。）

　　師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？

　　生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）

　　生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數(shù)的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。（大家對生6、生7的發(fā)言表示贊同。）

　　師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？

　　師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。

　　師：其余同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

　　生8：我舉了三個例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來看，交換兩個加數(shù)的位置和不變。

　　生9：我也舉了三個例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺得，交換兩個加數(shù)的位置和不變。

　�。ㄗⅲ菏聦嵣�，選生8、生9進行交流，是教師有意而為之。）

　　師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數(shù)加一位數(shù)，另一個則有一位數(shù)加一位數(shù)、二位數(shù)加兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)。比較而言，你更欣賞誰？

　　生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。

　　生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說，交換兩個一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。

　　生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。（多數(shù)學生表示贊同。）

　　師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？

　　教師出示作業(yè)紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。

　　生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。

　　生：他還舉到了分數(shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數(shù)的位置和不變，交換兩個分數(shù)的位置和也不變。

　　師：沒錯，因為我們不只是要說明“交換兩個整數(shù)的位置和不變”，而是要說明，交換——

　　生：任意兩個加數(shù)的位置和不變。

　　師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問�，F(xiàn)在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數(shù)的位置和不變”這個結(jié)論了嗎？（學生均認同）有沒有誰舉例時發(fā)現(xiàn)了反面的例子，也就是交換兩個加數(shù)位置和變了？這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？

　　生：能。

　　（教師重新將“？”改成“。”，并補充成為：“在加法中，交換兩個加數(shù)的位置和不變�！保�

　　師：回顧剛才的學習，除了得到這一結(jié)論外，你還有其它收獲嗎？

　　生：我發(fā)現(xiàn)，只舉一、兩個例子，是沒法驗證某個猜想的，應該多舉一些例子才行。

　　生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。

　　師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗證了猜想，得到了這一規(guī)律。該給這一規(guī)律起什么名稱呢？（學生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）

　　師：在這一規(guī)律中，變化的是兩個加數(shù)的――（板書：變）

　　生：位置。

　　師：但不變的是――

　　生：它們的和。（板書：不變）

　　師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結(jié)合在一起。

　　結(jié)論，是終點還是新的起點？

　　師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時，從已有的結(jié)論中通過適當變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結(jié)論。比如（教師指讀剛才的結(jié)論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數(shù)的位置和不變�！蹦敲�，在——

　　生1：減法中，交換兩個數(shù)的位置，差會不會也不變呢？（學生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會變�！保�

　　師：不急于發(fā)表意見。這是他（生1）通過聯(lián)想給出的猜想。

　�。ò鍟�：“猜想一：減法中，交換兩個數(shù)的位置差不變？”）

　　生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數(shù)的位置積會不會也不變？

　�。ò鍟�：“猜想二：乘法中，交換兩個數(shù)的位置積不變？”）

　　生3：除法中，交換兩個數(shù)的位置商會不變嗎？

　�。ń處煱鍟�：“猜想三：除法中，交換兩個數(shù)的位置商不變？”）

　　師：通過聯(lián)想，同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？

　　生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個加數(shù)”換成“三個加數(shù)”、“四個加數(shù)”或更多個加數(shù)，不知道和還會不會不變？

　　師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數(shù)的位置和不變？”)現(xiàn)在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進行驗證。

　�。▽W生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時給予必要的指導。然后全班交流。）

　　師：哪些同學選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？

　　生5：我舉了兩個例子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個數(shù)的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。

　　師：根據(jù)他舉的例子，你們覺得他得出的結(jié)論有道理嗎？

　　生：有。

　　師：但老師舉的例子中，交換兩數(shù)位置，差明明沒變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數(shù)的位置后，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著呢。

　　生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數(shù)和減數(shù)不一樣，那就不行了。

　　生7：我還有補充，我只舉了一個例子，2－1≠1－2，我就沒有繼續(xù)往下再舉例。

　　師：哪又是為什么呢？

　　生7：因為我覺得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想就錯了。

　　師：同學們怎么理解他的觀點。

　　生8：（略。）

　　生9：我突然發(fā)現(xiàn)，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。

　　師：瞧，多深刻的認識！事實上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數(shù)學上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數(shù)學上我們就稱作――

　　生：反例。（有略。）

　　師：關(guān)于其它幾個猜想，你們又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

　　生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發(fā)現(xiàn)乘法中交換兩數(shù)的位置積也不變。

　　師：能給大家說說你舉的例子嗎？

　　生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。

　�。�另有數(shù)名同學交流自己舉的例子，都局限在整數(shù)范圍內(nèi)。）

　　師：那你們都得出了怎樣的結(jié)論？

　　生11：在乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變。

　　生12：我想補充。應該是，在整數(shù)乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變，這樣說更保險一些。

　　師：你的思考很嚴密。在目前的學習范圍內(nèi)，我們暫且先得出這樣的結(jié)論吧，等學完分數(shù)乘法、小數(shù)乘法后，再補充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結(jié)論，你們看行嗎？（對猜想三、四的討論略。）

　　隨后，教師引導學生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯(lián)系。

　　怎樣的收獲更有價值？

　　師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

　　生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。

　　生：我發(fā)現(xiàn)，有了猜想，還需要舉許多例子來驗證，這樣得出的結(jié)論才準確。

　　生：我還發(fā)現(xiàn)，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。

　　生：舉例驗證時，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結(jié)論才更可靠。

　　師：只有一個例子，行嗎？

　　生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。

　�。ㄗ鳛檠a充，教師給學生介紹了如下故事：三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊�！罢嬗幸馑�，”天文學家說：“蘇格蘭的羊都是黑的�！薄安粚Π�。”物理學家說，“我們只能得出這樣的結(jié)論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的�！睌�(shù)學家馬上接著說：“我覺得下面的結(jié)論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一只羊，它是黑色的�！保�

　　必要的拓展：讓結(jié)論增殖！

　　師：在本課將結(jié)束時，依然有一些問題需要留給大家進一步思考。

　�。ń處煶鍪荆�20－8－6○20－6－8 ;60÷2÷3○60÷3÷2）

　　師：觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)什么變化了嗎？

　　生：我發(fā)現(xiàn)，第一組算式中，兩個減數(shù)交換了位置，第二組算式中，兩個除數(shù)也交換了位置。

　　師：交換兩個減數(shù)或除數(shù)，結(jié)果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進一步的舉例驗證猜想并得出結(jié)論嗎？這些結(jié)論和我們今天得出的結(jié)論有沖突嗎，又該如何去認識？

　　專家評析張齊華教學的《交換律》一課

　　一堂有價值的數(shù)學課，給予學生的影響應該是多元而立體的。有知識的豐厚、技能的純熟，更有方法的領(lǐng)悟、思想的啟迪、精神的熏陶。事實上，數(shù)學的確擁有這一切，而且，也可能傳遞這一切。然而，出于對知識與技能的盲目追逐，當今數(shù)學課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態(tài)。知識化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數(shù)學思想、方法和精神失卻了可能生長的土壤，并逐漸為數(shù)學課堂所遺忘，這不能不說是當今眾多數(shù)學課堂的悲哀。近年來，在觀念層面的探討不少，真正落實到課堂教學實踐的卻不多�？上驳氖�，在張老師的這一節(jié)課中，我們看到了另一種努力，以及由此而帶來的變化。透過課堂，我們似乎觸及到了數(shù)學更為豐厚的內(nèi)涵，感受到數(shù)學教學可能呈現(xiàn)的更為開闊的景象。

　　對于“交換律”，一貫的教學思路是：結(jié)合具體情境，得出某一具有交換律特征的實例，由此引發(fā)猜想，并借助舉例驗證猜想、形成結(jié)論，進而在解釋和應用的過程中進一步深化認識。本課，在宏觀架構(gòu)上并未作太大開拓。然而，在保持其整體架構(gòu)的基礎(chǔ)上，這一堂課在更多細節(jié)上所給予的突破卻是十分顯見。我們不妨重歷課堂，去找尋這些細節(jié)，并探尋細節(jié)背后的意蘊所在。由“3+4=4+3”得出“交換兩數(shù)的位置，和不變”的猜想，似乎再自然不過了。然而，教師略顯突兀的介入，以“交換的位置，和不變”的細微變化，確又發(fā)人于深思。正如案例中所提及的，“一個例子究竟能說明什么”，是得出結(jié)論？還是僅僅是觸發(fā)猜想和驗證的一根引線？這里關(guān)乎知識的習得，更關(guān)乎方法的生成，關(guān)乎學生對于如何從事數(shù)學思考的思考。 “驗證猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨特的教學智慧。曾經(jīng)，在太多的課堂里，我們目睹這樣的情形：學生舉例三、四，教師引導學生匆匆過場，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上，再換言之，在“簡潔”和“豐富”之間，誰才是“舉例驗證猜想”時應該遵循的規(guī)則。張老師的嘗試與表達無疑是對傳統(tǒng)教學的一種突破。“舉例”不應只追求簡約，例子的多元化、特殊性恰恰是結(jié)論準確和完整的前提。沒有老師適時的點撥與引導，學生如何才能有此深度體驗？無此體驗，我們?nèi)绾文苷f，學生已經(jīng)歷過程，并已感悟思想與方法？

　　觸及我深思的問題還在于，是什么原因觸發(fā)了這一節(jié)課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內(nèi)容的簡單擴張？是教學結(jié)構(gòu)的適度調(diào)整？隨后的課堂，給了我清晰的答復。“加法結(jié)合律”只是一個觸點，“減法中是否也會有交換律？”“乘法、除法中呢？”等新問題，則是原有觸點中誕生的一個個新的生長點。統(tǒng)整到一起時，作為某一特定運算的“交換律知識”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關(guān)系、“猜想－實驗－驗證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數(shù)學聯(lián)想等卻一一獲得突顯，成為超越于知識之上的更高的數(shù)學課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有價值的探索？

　　課堂的結(jié)尾，我們依然看到了教師對傳統(tǒng)保守思路的背叛。確定的、可靠的結(jié)論已經(jīng)不再是這一堂課的終極追求，結(jié)論的可增殖性、結(jié)論的重新表達、問題的不斷生成和卷入，仿佛成為了這堂課最后的價值取向。即便是顛覆原有的結(jié)論，也在所不惜。在這里，我們再一次看到了教師對于數(shù)學知識的“戰(zhàn)略性”忽視，因為，教師心有大氣象。

　　數(shù)學是什么，數(shù)學可以留下些什么，數(shù)學可以形成怎樣的影響力？答案并不唯一。但我以為，數(shù)學可以在人的內(nèi)心深處培植理性的種子，她可以讓你擁有一顆數(shù)學的大腦，學會數(shù)學地思考，學會理性、審慎地看待問題、關(guān)注周遭、理解世界，這恰是這節(jié)課給予我們的最大啟迪。而數(shù)學的文化特性，恰也在于此。

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