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“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學建議
“數(shù)據(jù)分析觀念”的內(nèi)涵及教學建議數(shù)學教育熱點問題系列訪談錄
摘要：統(tǒng)計是數(shù)據(jù)分析的科學和藝術(shù)，統(tǒng)計課程的核心是發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念。準確把握數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵是進行統(tǒng)計課程設計、教科書編寫和教學實施的必要前提和重要基礎。體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息、認識到需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法、通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性是數(shù)據(jù)分析觀念的重要方面。義務教育階段統(tǒng)計教學關(guān)鍵是使學生想到用數(shù)據(jù)，愿意“親近”數(shù)據(jù)，能從數(shù)據(jù)中提取信息。
關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)分析觀念;教學建議
我國在基礎教育階段將統(tǒng)計作為重要的學習內(nèi)容，隨著大家對統(tǒng)計教學的不斷探索和實踐，人們逐漸認識到對于統(tǒng)計學習而言，重要的不是畫統(tǒng)計圖、求平均數(shù)等技能的學習，而是發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念。那么，數(shù)據(jù)分析觀念到底體現(xiàn)在哪些方面呢?如何設計課程和實施教學，才能更好地發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念呢?本文訪談了東北師范大學著名統(tǒng)計學家史寧中教授，并輔助于資料查詢等形式就這些問題提出了一些思考。
一、發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念
問：您在多種場合不斷強調(diào)，無論哪一部分內(nèi)容的學習，都應該抓住這部分的核心內(nèi)容，那么統(tǒng)計學習的核心內(nèi)容是什么呢?
▲史教授：首先必須明確的是，我們希望在課程中給出一些關(guān)鍵詞。關(guān)鍵詞是某部分學習的核心內(nèi)容。核心內(nèi)容不是指具體的知識點，甚至不是指具體的知識本身，而是概括很多知識的共性所反映出來的思想和思維方式，這個就叫做核心詞，或者叫做核心內(nèi)容。統(tǒng)計最核心的就是數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計是處理數(shù)據(jù)的一門科學和藝術(shù)。在這部分內(nèi)容中，我們提出了數(shù)據(jù)分析觀念的核心詞，就跟代數(shù)學習里的數(shù)感、符號意識、模型等都是核心內(nèi)容。
▲問：統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，那么到底是什么是數(shù)據(jù)呢，數(shù)據(jù)與數(shù)有什么關(guān)系呢?
▲史教授：我們在義務教育階段處理的數(shù)據(jù)主要是用數(shù)來表達的，當然這些數(shù)都是有實際背景的。脫離實際問題的單純地數(shù)的研究是數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，不是統(tǒng)計的內(nèi)容。但是，這些年隨著信息的迅速增長，我們需要擴大對數(shù)據(jù)的認識。事實上，現(xiàn)在的數(shù)據(jù)不僅僅是數(shù)，圖是數(shù)據(jù)、語句也是數(shù)據(jù)。比如，人們在網(wǎng)上經(jīng)常用GOOGLE來進行檢索，GOOGLE是用統(tǒng)計的方法來進行語句檢索，此時統(tǒng)計處理的是語句，我們把這些都叫做數(shù)據(jù)。
▲問：能不能這樣理解，只要蘊含著一定信息，無論是什么表現(xiàn)形式，就是數(shù)據(jù)，統(tǒng)計能幫助人們從這些數(shù)據(jù)中提取出大量的信息?
▲史教授：是這樣的。人們在實際生活和各行各業(yè)中面臨的數(shù)據(jù)越來越多，必須樹立利用數(shù)據(jù)的意識，掌握一些分析數(shù)據(jù)的方法和模型。所以，數(shù)據(jù)分析觀念是非常重要的。數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個方面：第一，了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊涵著信息的。第二，了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法。第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性。
二、數(shù)據(jù)隨機性的內(nèi)涵和教學
(一)數(shù)學隨機性的內(nèi)涵
問：對于很多人而言，對第三點“通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性”都比較陌生。首先遇到的一個困難是，數(shù)據(jù)隨機性的涵義是什么呢?
▲史教授：簡單而言，數(shù)據(jù)的隨機主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的;另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉一個例子，袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定;另一方面，有放回重復摸多次(摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸)，從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。
問：那么，構(gòu)成數(shù)據(jù)隨機性的原因主要有哪些呢?
▲史教授：一般來說，產(chǎn)生隨機有兩方面的原因。
一方面，是運用部分來推斷總體，我們知道這是統(tǒng)計的一個基本思想。這里首先假設每一次實驗取得的數(shù)據(jù)是來源于一個總體的，這是很重要的一個假設。比如上面提到的摸球例子，第一需要假設摸的是同一個袋子里的球，而且是有放回的摸;第二，摸之前需要晃一晃，搖晃均勻了。為什么要強調(diào)這些呢，就是要保證每一次要處理的事情都是一樣的，數(shù)據(jù)是來源于一個總體的。有了這個假設后就去做重復實驗，每一次在摸之前，你不可能知道這次摸的是什么結(jié)果，但是摸的次數(shù)多了，就能估計出來摸到各種結(jié)果的可能性是多大，由此推斷總體的情況。比如在上面的例子中，可以推斷袋子中什么顏色的球多，各種顏色球的比例，如果知道了袋中球的總數(shù)，我們還可以推斷出各種球的數(shù)量。但是，由于是用部分來推斷總體，就不能擔保推斷一定是準確無誤的，而是允許結(jié)論可能出錯。好的統(tǒng)計方法的主要標志就是出錯的可能性較小。
另一方面，是重復測量中的誤差。對一些數(shù)據(jù)，特別是連續(xù)型數(shù)據(jù)總是有測量誤差的，而產(chǎn)生誤差的原因是多方面的。比如多次測量同一人的身高，由于測量工具、觀察者的角度、測量時間等各種各樣的原因，每次測量的結(jié)果可能都是不一樣的，測量數(shù)據(jù)是隨機的。但是如果出現(xiàn)隨機誤差的平均是零，也就是有時候比真實結(jié)果大一點，有時候比真實結(jié)果小一點，平均下來零，這個時候就能研究了，如何進行研究這里就不細談了。主要是以上兩方面原因構(gòu)成了我們研究問題的隨機性。
(二)數(shù)據(jù)隨機性的教學
問：說到這里，我感覺您非常強調(diào)運用統(tǒng)計(數(shù)據(jù)分析)來幫助學生體會隨機。不少老師有這樣的一個困惑，概率也是研究隨機現(xiàn)象的，在概率中教師也組織學生做了很多摸球、擲硬幣等游戲。那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機性呢?
▲史教授：我聽了一些課，老師們經(jīng)常這樣處理：比如對于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現(xiàn)正面或反面的概率是二分之一，然后讓學生通過反復擲硬幣去驗證這個結(jié)果(二分之一)。這里有兩個問題。第一，一個硬幣，先假定它出現(xiàn)正面和反面的可能性是二分之一，這是數(shù)學(或者稱為概率)。這個二分之一是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗證出來的。實際上，學生做了很多次實驗也得不到二分之一，反而更加糊涂了。第二，運用定義的方式教學隨機，不能很好的培養(yǎng)學生的隨機觀念。
需要指出的是，我們贊成做實驗，贊成運用統(tǒng)計的思想來做實驗。統(tǒng)計是通過數(shù)據(jù)來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在統(tǒng)計上就會這樣設計實驗：先讓學生多次擲硬幣，計算出現(xiàn)正面的比例(頻率)，然后用頻率來估計一下出現(xiàn)正面的可能性是多大。如果這個可能性接近二分之一的話，就推斷這個硬幣大概是均勻的，這是統(tǒng)計的思想。
對于先給出定義，教師往往比較習慣，而對于“逆過來”通過數(shù)據(jù)來進行推斷，教師往往比較陌生。為了幫助大家理解，再闡述一下上面的摸球的例子。同樣是一個袋子里有5個球，4個白球、1個紅球，如果讓學生通過摸來驗證出現(xiàn)白球的可能性是五分之四、出現(xiàn)紅球的可能性是五分之一，這不是統(tǒng)計。統(tǒng)計是這樣的，告訴學生們袋子里有很多球，有白顏色的和紅顏色的。讓孩子們?nèi)ッ�，摸到一定程度的時候，學生發(fā)現(xiàn)摸出白球的次數(shù)比紅球的次數(shù)多，由此推斷袋子里白球可能比紅球多。進一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數(shù)的時候，能夠估計出來幾個白球和幾個紅球，這個是統(tǒng)計的過程。
我并不是反對前一種教法本身，而是說如果這么教，蘊含的隨機思想并不強，學生也不感興趣，都知道了概率為什么還要做實驗。而后來的這種教法，學生體會到每一次摸的結(jié)果事先都不知道，但是摸多了能夠幫助我們做一些判斷。這樣一來，學生既體會了隨機，又感受到了數(shù)據(jù)中蘊含著信息，我想這種類似于“猜謎”的活動學生也會很有興趣。
問：實際上，并不是簡單地贊成或反對做實驗，而是做實驗的目的。不是通過實驗去驗證概率是多少，而是通過實驗從數(shù)據(jù)中獲取信息，對總體做一些推斷。說到做推斷，老師們還有一個困惑，因為數(shù)據(jù)是隨機的，用部分的數(shù)據(jù)進行估計有時可能會估計得準一些，有時會偏差很大。那么這種推斷是不是有點“瞎猜”的味道，能不能保證這種估計是合理的。
▲史教授：這里絕不是“瞎猜”。還是上面摸球的例子(袋子里有5個球，4個白球，1個紅球)，我們知道如果真是隨機摸球的話，那么出現(xiàn)白球的概率是五分之四。而實驗中，要使摸球的頻率剛好是 五分之四(十分之八)的可能性并不大。但是如果取一個范圍，比如在十分之七和十分之九之間，此時頻率落在這個范圍內(nèi)，用它去進行估計是可以接受的。如果要使摸出白球的頻率落在這個范圍之間的可能性達到80%的話，通過計算只要做27次左右的實驗;如果要使95%的可能性落在這個范圍內(nèi)的話，摸球的次數(shù)要增加，大概是60次左右。所以，實際上有相當多的科學依據(jù)在后邊支撐著我們做類似摸球的試驗。也就是雖然不能保證估計得完全一致，但能保證在一定實驗次數(shù)下，估計值與實際情況相差不大的可能性是很大的。
問：聽了您的解釋挺有啟發(fā)的。是不是雖然不能達到100%的精確，但無論實際情況需要多高的精確度，都可以計算出需要做多少次實驗來保證達到這個精確度?
▲史教授：是這樣的。因此，我們可以提供一些數(shù)據(jù)，如果想達到95%的可能性，你至少要摸多少次球。再比如社會上通過打電話做民意調(diào)查，不可能給所有擁有電話的人都打，如果調(diào)查允許在一定的誤差范圍內(nèi)，通過計算可以提供至少需要打電話的數(shù)量。當然計算中需要概率的知識，從這些例子中我們也能看到統(tǒng)計與概率的聯(lián)系。
問：通過上面的兩種教法和您的分析，我們可以感覺到概率是定義出來的，它的推理方式是主要是演繹;而統(tǒng)計是用數(shù)據(jù)來進行推斷，它的推理方式主要是歸納。兩種思維方式是不一樣的。
▲史教授：是這樣的。統(tǒng)計體現(xiàn)了與傳統(tǒng)數(shù)學不一樣的思路，而這種思路是培養(yǎng)學生歸納能力的最好方法之一。在義務教育階段，也有一些素材可以讓學生經(jīng)歷歸納的過程，比如歸納一些公式和規(guī)律，但這些公式和規(guī)律往往都是準備好了的。很難找到讓學生真正通過歸納自己得到結(jié)論的素材，但是通過統(tǒng)計可以讓學生做一些，所以說，運用
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