《函數(shù)的基本性質(zhì)》知識點總結(jié)

　　在日復一日的學習中，是不是經(jīng)常追著老師要知識點？知識點也可以通俗的理解為重要的內(nèi)容。掌握知識點有助于大家更好的學習。以下是小編精心整理的《函數(shù)的基本性質(zhì)》知識點總結(jié)，歡迎大家分享。

　　基礎知識：

　　1.奇偶性

　�。�1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。

　　注意：

　�、俸瘮�(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

　�、谟珊瘮�(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）。

　�。�2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

　�、偈紫却_定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；

　�、诖_定f(－x)與f(x)的關(guān)系；

　�、圩鞒鱿鄳�結(jié)論：

　　若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；

　　若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。

　�。�3）簡單性質(zhì)：

　�、賵D象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點成中心對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸成軸對稱；

　�、谠Of(x)，g(x)的定義域分別是D1,D2，那么在它們的公共定義域上：

　　奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

　　2.單調(diào)性

　　（1）定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　注意：

　�、俸瘮�(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

　�、诒仨毷菍τ趨^(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當x1

　�。�2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。

　�。�3）設復合函數(shù)y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

　�、偃魎=g(x) 在 A上是增

　　（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]

　　在A上是增函數(shù)；

　�、谌魎=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在A上是減函數(shù)。

　�。�4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

　　利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

　　①任取x1，x2∈D，且x1

　　（5）簡單性質(zhì)

　�、倨婧瘮�(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

　�、谂己瘮�(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

　　③在公共定義域內(nèi)：

　　增函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是減函數(shù)； 增函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。

　　④若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

　　3.函數(shù)的周期性

　　如果函數(shù)y＝f(x)對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個不等于0的常數(shù)T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期.

　　性質(zhì)：

　�、偃绻鸗是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

　�、谌糁芷诤瘮�(shù)f(x)的周期為T，則f(x)（0）是周期函數(shù)，且周期為T||。

　　③若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(,0)對稱; 若a2f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

　　例題： 1.y1x2的遞減區(qū)間是 ；ylog1(x3x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是 。 1x22.函數(shù)f(x)lg(21)的圖象（ ） 1xA.關(guān)于x軸對稱B. 關(guān)于y軸對稱C. 關(guān)于原點對稱 D. 關(guān)于直線yx對稱

　　3.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x0時，f(x)log3(1x)，則f(2)。

　　4.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x2)，若f(x)在[2,0]上遞增，則（ ）

　　A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不對

　　5.討論函數(shù)f(x)x1的單調(diào)性。

　　6.已知奇函數(shù)f(x)是定義在(2,2)上的減函數(shù),若f(m1)f(2m1)0，求實數(shù)m 的取值范圍。

　　7.已知函數(shù)f(x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2004，求f(2004)。

　　、函數(shù)的解析式與定義域

　　1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型：

　�。�1）有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮;

　　（2）已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：

　�、俜质降姆帜覆坏脼榱�;

　　②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

　�、蹖�數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

　�、苤笖�(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

　�、萑�角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

　　應注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。

　　（3）已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。

　　已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。

　　2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

　　（1）根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式。

　�。�2）有時題設給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設條件，列出方程組，求出a，b即可。

　�。�3）若題設給出復合函數(shù)f[g（x）]的表達式時，可用換元法求函數(shù)f（x）的表達式，這時必須求出g（x）的值域，這相當于求函數(shù)的定義域。

　�。�4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量（如f（—x），等），必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。

　　函數(shù)的值域與最值

　　1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

　�。�1）直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域。

　　（2）換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數(shù)換元，當根式里是二次式時，用三角換元。

　�。�3）反函數(shù)法：利用函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f—1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如（a≠0）的函數(shù)值域可采用此法求得。

　　（4）配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。

　�。�5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數(shù)的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。

　�。�6）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。

　�。�7）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當能確定函數(shù)在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。

　�。�8）數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域。

　　2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

　　求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲�。因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。

　　如函數(shù)的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值。再如函數(shù)的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2。可見定義域?qū)�函�?shù)的值域或最值的影響。

　　3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用

　　函數(shù)的最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最�。�”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。

　　習題：

　　題型一：判斷函數(shù)的奇偶性

　　1.以下函數(shù)：（1）y1(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x；（5）x4xx2；其中奇函數(shù)是 ，偶函數(shù)是 ，ylog2(xx1)，(6)f(x)x222非奇非偶函數(shù)是。

　　2.已知函數(shù)f(x)=xx,那么f(x)是( )

　　A.奇函數(shù)而非偶函數(shù) B. 偶函數(shù)而非奇函數(shù)

　　C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)

　　題型二：奇偶性的應用

　　1.已知偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-4,4),它們在4,0上的圖像分別如 圖（2-3）所示，則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。

　　圖(2-3)

　　2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d為常數(shù)，若f(7)7，則f(7)____

　　3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減的是（）

　　A.f(x)sinx B.f(x)xC.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln 22x

　　4.已知函數(shù)yf(x)在R是奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x22x，則x0時，f(x)的 解析式為 。

　　5.若fx是偶函數(shù),且當x0,時, fxx1,則fx10的解集是（ ）

　　A.x1x0 B. xx0或1x2 C. x0x2 D. x1x2 題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性

　　1.判斷并證明f(x)

　　22在(0,)上的單調(diào)性 x12.判斷f(x)2x2x1在(,0)上的單調(diào)性

　　題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

　　1.求函數(shù)ylog0.7(x23x2)的單調(diào)區(qū)間。

　　2.下列函數(shù)中，在(,0)上為增函數(shù)的是（ ）

　　A.yx24x8 B.yax3(a0) C.y2 D.ylog1(x) x12

　　3.函數(shù)f(x)x

　　A.0,1的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） xB.,0C.0,1D.1,

　　4.下列函數(shù)中，在(0，2)上為增函數(shù)的是( )A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=

　　5.函數(shù)y=54xx2的遞增區(qū)間是( )

　　A.(-∞，-2)B.[-5，-2] C.[-2，1]D.[1，+∞)

　　題型五：單調(diào)性的應用

　　1.函數(shù)f(x)=x+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞，4)上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是( )

　　A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3}D.(-∞，5]

　　2.已知函數(shù)f(x)=2x-mx+3，當x∈(-2，+∞)時是增函數(shù)，當x∈(-∞，-2)時是減函數(shù)，則f(1)等于( )

　　A.-3B.13C.7 D.由m而決定的常數(shù)． 2242 D.y=x-4x+3 x

　　3.若函數(shù)f(x)x3ax2bx7在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a, b一定滿足的條件是（ ）

　　A．a(chǎn)3b0B.a3b0 22C．a(chǎn)3b0 2D．a(chǎn)3b1 2

　　4.函數(shù)f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恒成立，則b的最小值為 。

　　5.已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 題型六：周期問題

　　1.奇函數(shù)f(x)以3為最小正周期，f(1)3，則f(47)為( )

　　A.3B.6C.-3 D.-6

　　2.設f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x =3對稱，則下面正確的結(jié)論是()

　　A.f(1.5)

　　C.f(6.5)

　　x3.已知fx為偶函數(shù),且f2xf2x,當2x0時,fx2,則f2006

　　（ ）

　　A．2006 B．4C．4 D． 1 4

　　4.設f(x)是(,)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x，則f(47.5)等于_____

　　5.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(x＋m)＝－f(x),求證:2m是f(x)的一個周期.

　　6、已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函數(shù),

　　求證:2m是f(x)的一個周期.

　　7、函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(－1)＝3，對任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.

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