基本不等式教學設(shè)計

　　作為一位優(yōu)秀的人民教師，總歸要編寫教學設(shè)計，借助教學設(shè)計可以提高教學質(zhì)量，收到預期的教學效果。優(yōu)秀的教學設(shè)計都具備一些什么特點呢？以下是小編幫大家整理的基本不等式教學設(shè)計，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

基本不等式教學設(shè)計1

　　一、教學目標：

　　（一）知識與技能

　　1．掌握不等式的三條基本性質(zhì)。

　　2．運用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形。

　�。ǘ�）過程與方法

　　1．通過等式的性質(zhì)，探索不等式的性質(zhì)，初步體會“類比”的數(shù)學思想。

　　2．通過觀察、猜想、驗證、歸納等數(shù)學活動，經(jīng)歷從特殊到一般、由具體到抽象的認知過程，感受數(shù)學思考過程的條理性，發(fā)展思維能力和語言表達能力。

　�。ㄈ�）情感態(tài)度與價值觀

　　通過探究不等式基本性質(zhì)的活動，培養(yǎng)學生合作交流的意識和大膽猜想，樂于探究的良好思維品質(zhì)。

　　二、教學重難點

　　教學重點：探索不等式的三條基本性質(zhì)并能正確運用它們將不等式變形。

　　教學難點：不等式基本性質(zhì)3的探索與運用。

　　三、教學方法：自主探究——合作交流

　　四、教學過程:

　　情景引入

　　1．舉例說明什么是不等式？

　　2．判斷下列各式是否成立？并說明理由。

　　( 1 )若x－6=10,則x＝16( )

　　( 2 )若3x=15,則x＝5 ( )

　　( 3 )若x－6＞10則x＞16( )

　　( 4 )若3x＞15則x＞5 ( )

　　【設(shè)計意圖】（1）、（2）小題喚起對舊知識等式的基本性質(zhì)的回憶，（3）、（4）小題引導學生大膽說出自己的想法。

　　溫故知新

　　問題1．由等式性質(zhì)1你能猜想一下不等式具有什么樣的性質(zhì)嗎？

　　等式性質(zhì)1：等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)（或同一個整式），所得結(jié)果仍是不等式。

　　估計學生會猜：不等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)（或同一個整式），所得結(jié)果仍是不等式。教師引導：“＝”沒有方向性，所以可以說所得結(jié)果仍是等式，而不等號：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我們應(yīng)該重點研究它在方向上的變化。

　　問題2．你能通過實驗、猜想，得出進一步的結(jié)論嗎？

　　同學通過實例驗證得出結(jié)論，師生共同總結(jié)不等式性質(zhì)1。

　　問題3．你能由等式性質(zhì)2進一步猜想不等式還具有什么性質(zhì)嗎？

　　等式性質(zhì)2：等式兩邊都乘或除以同一個數(shù)（除數(shù)不能是0），等式依然成立。

　　估計學生會猜：不等式兩邊都乘或除以同一個數(shù)（除數(shù)不能是0），不等號的方向不變。

　　你能和小伙伴一起來驗證你們的猜想嗎？

　　學生在小組內(nèi)合作交流，發(fā)現(xiàn)了在不等式兩邊都乘或除以同一個數(shù)時，不等號的方向會出現(xiàn)兩種情況。教師進一步引導學生通過分析、比較探索規(guī)律，從而形成共識，歸納概括出不等式性質(zhì)2和3。

　　問題4．在不等式兩邊都乘0會出現(xiàn)什么情況？

　　問題5．如果a、b、c表示任意數(shù)，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性質(zhì)表示出來碼？

　　【想一想】不等式的'基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有什么相同之處，有什么不同之處？

　　學生思考，獨立總結(jié)異同點。

　　【設(shè)計意圖】引導學生把二者進行比較，有助于加深對不等式基本性質(zhì)的理解，促成知識的“正遷移”。

　　綜合訓練：你能運用不等式的基本性質(zhì)解決問題嗎？

　　1、課本62頁例3

　　教師引導學生觀察每個問題是由a＞b經(jīng)過怎樣的變形得到的，應(yīng)該應(yīng)用不等式的哪條基本性質(zhì)。由學生思考后口答。

　　2、你認為在運用不等式的基本性質(zhì)時哪一條性質(zhì)最容易出錯，應(yīng)該怎樣記住？

　　3、火眼金睛

　�、賏＞1,則2a（）a

　�、赼＞3a,則a（）0

　　【設(shè)計意圖】通過變式訓練，加深學生對新知的理解，培養(yǎng)學生分析、探究問題的能力。

　　課堂小結(jié)：

　　這節(jié)課你有哪些收獲？你認為自己的表現(xiàn)如何？教師引導學生回顧、思考、交流。

　　【設(shè)計意圖】回顧、總結(jié)、提高。學生自覺形成本節(jié)的課的知識網(wǎng)絡(luò)。

　　思考題

　　咱們班的盛芳同學準備在五、一期間和他的爸爸、媽媽外出旅游。青年旅行社的標準為：大人全價，小孩半價；方正旅行社的標準為：大人、小孩一律八折。若兩家旅行社的基本價一樣，你能幫盛芳同學考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎？

　　【設(shè)計意圖】利用所學的數(shù)學知識，解決生活中的問題，加強數(shù)學與生活的聯(lián)系，體驗數(shù)學是描述現(xiàn)實世界的重要手段。

基本不等式教學設(shè)計2

　　【學習目標】

　　1．知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

　　2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

　　3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

　　【能力培養(yǎng)】

　　培養(yǎng)學生嚴謹、規(guī)范的學習能力，分析問題、解決問題的能力。

　　【教學重點】

　　應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；及其在求最值時初步應(yīng)用

　　【教學難點】

　　基本不等式等號成立條件

　　【教學過程】

　　一、課題導入

　　基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，教師引導學生從面積的關(guān)系去找不等關(guān)系。

　　二、講授新課

　　1．問題探究——探究圖形中的不等關(guān)系。

　　將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的'和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。

　　當直角三角形變?yōu)榈妊�直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有。

　　2.總結(jié)結(jié)論：一般的，如果

　�。ńY(jié)論的得出盡量發(fā)揮學生自主能動性，讓學生總結(jié)，教師適時點撥引導）

　　3．思考證明：（讓學生嘗試給出它的證明）

　　4．特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b，可得，通常我們把上式寫作：

　�、購牟坏仁降男再|(zhì)推導基本不等式

　　用分析法證明：（略）

　　②理解基本不等式的幾何意義

　　探究：對課本第98頁的“探究”（幾何證明）

　　注:在數(shù)學中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù)。本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

　　5、例：當時，取什么值，的值最��？最小值是多少？

　　6、課時小結(jié)

　　本節(jié)課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（≥）。它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)。它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將進一步學習它們的應(yīng)用)。

　　7、作業(yè)：

　　課本第100頁習題[a]組的第1、2題

　　板書設(shè)計

　　課題: 3.4基本不等式

　　一、兩個不等式

　　二、例題及練習

基本不等式教學設(shè)計3

　　在前兩節(jié)課的研究當中，學生已掌握了一些簡單的不等式及其應(yīng)用，并能用不等式及不等式組抽象出實際問題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學習了二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題。本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學習的延續(xù)和拓展。另外，為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅實的基礎(chǔ)，所以說，本節(jié)課是起到了承上啟下的作用。本節(jié)課是通過讓學生觀察第２４屆國際數(shù)學家大會的會標圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的通過分析得出基本不等式，然后從三種角度對基本不等式展開證明及對基本不等式展開一些簡單的應(yīng)用,進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念。教師應(yīng)作好點撥，利用幾何背景，數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析，并鼓勵學生從理性角度去分析探索過程，進而更深層次理解基本不等式，鼓勵學生對數(shù)學知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助。

　　教學重點

　　1、創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

　　2、從不同角度探索基本不等式的證明過程；

　　3、從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路。

　　教學難點

　　1、對基本不等式從不同角度的探索證明；

　　2、通過基本不等式的證明過程體會分析法的證明思路。

　　教具準備多媒體及課件

　　三維目標

　　一、知識與技能

　　1、創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

　　2、嘗試讓學生從不同角度探索基本不等式的證明過程；

　　3、從基本不等式的證明過程進一步體會不等式證明的常用思路，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件。

　　二、過程與方法

　　1、采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進行啟發(fā)式教學；

　　2、教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用；

　　3、將探索過程設(shè)計為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學學習興趣。

　　三、情感態(tài)度與價值觀

　　1、通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行歸納、抽象，使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維習慣；

　　2、學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣，主動、積極的學習品質(zhì)，從而提高學習質(zhì)量；

　　3、通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的應(yīng)用性，體會數(shù)學的奧秘、數(shù)學的簡潔美、數(shù)學推理的嚴謹美，從而激發(fā)學生的學習興趣。

　　教學過程

　　導入新課

　　探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

　　（教師用投影儀給出第24屆國際數(shù)學家大會的會標，并介紹此會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情）

　　推進新課

　　師同學們能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？

　　（沉靜片刻）

　　生應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形。

　　師此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學能在黑板上畫出這個幾何圖形？

　�。ㄕ垉晌煌瑢W在黑板上畫。教師根據(jù)兩位同學的板演作點評）

　　（其中四個直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀。此時教師用投影片給出隱含的規(guī)范的幾何圖形）

　　師同學們觀察得很細致，抽象出的幾何圖形比較準確。這說明，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進一步刻苦努力，發(fā)奮圖強，也能作出和數(shù)學家趙爽一樣的成績。

　　（此時，每一位同學看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學習中來）

　�。圻^程引導］

　　師設(shè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？

　　生顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和。

　　師一定嗎？

　　（大家齊聲：不一定，有可能相等）

　　師同學們能否用數(shù)學符號去進行嚴格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？

　　生每個直角三角形的面積為，四個直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab。

　　師這位同學回答得很好，表達很全面、準確，但請大家思考一下，他對a2+b2≥2ab證明了嗎？

　　生沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達一下而已。

　　師回答得很好。

　�。ㄓ械耐瑢W感到迷惑不解）

　　師這樣的敘述不能代替證明。這是同學們在解題時經(jīng)常會犯的錯誤。實質(zhì)上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明。

　�。ㄓ械耐瑢W竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明）

　　師請同學們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。

　　生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個完全平方數(shù)，它是非負數(shù)，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

　　師同學們思考一下，這位同學的證明是否正確？

　　生正確。

　�。劢處熅�講］

　　師這位同學的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個代數(shù)式的大小是否一樣。

　　生實質(zhì)一樣，只是設(shè)問的形式不同而已。一個是比較大小，一個是讓我們?nèi)プC明。

　　師這位同學回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數(shù)學研究當中，還有另一種“比較法”。

　�。ń處煷颂幍脑O(shè)問是針對學生已有的知識結(jié)構(gòu)而言）

　　生作商，用商和“1”比較大小。

　　師對。那么我們在遇到這類問題時，何時采用作差，何時采用作商呢？這個問題讓同學們課后去思考，在解決問題中自然會遇到。

　　（此處設(shè)置疑問，意在激發(fā)學生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學生）

　�。酆献魈骄浚�

　　師請同學們再仔細觀察一下，等號何時取到。

　　生當四個直角三角形的'直角頂點重合時，即面積相等時取等號。

　　（學生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時點撥）

　　師從不等式a2+b2≥2ab的證明過程能否去說明。

　　生當且僅當(a-b)2=0，即a=b時，取等號。

　　師這位同學回答得很好。請同學們看一下，剛才兩位同學分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致。

　�。ù蠹引R聲）一致。

　�。ù颂幰庠趶娀瘜W生的直覺思維與理性思維要合并使用。就此問題來講，意在強化學生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）

　　板書：

　　一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。

　　［過程引導］

　　師這是一個很重要的不等式。對數(shù)學中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延。只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應(yīng)手，也不會出錯。

　�。ㄍ瑢W們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時，教師應(yīng)及時點撥、指引）

　　師當a＞0,b＞0時，請同學們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

　　生完全可以。

　　師為什么？

　　生因為不等式中的a、b∈R。

　　師很好，我們來看一下代替后的結(jié)果。

　　板書：

　　即(a＞0,b＞0)。

　　師這個不等式就是我們這節(jié)課要推導的基本不等式。它很重要，在數(shù)學的研究中有很多應(yīng)用，我們常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把ab叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

　�。ù颂幰庠谝�起學生的重視，從不同的角度去理解）

　　師請同學們嘗試一下，能否利用不等式及實數(shù)的基本性質(zhì)來推導出這個不等式呢？

　�。ù藭r，同學們信心十足，都說能。教師利用投影片展示推導過程的填空形式）

　　要證：，①

　　只要證a+b≥2，②

　　要證②，只要證：a+b-2≥0，③

　　要證③，只要證：④

　　顯然④是成立的，當且僅當a=b時，④中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式。

　�。ù颂幰蕴羁盏男问�,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時空切實留給學生，讓學生在探究的基礎(chǔ)上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）

　�。酆献魈骄浚�

　　老師用投影儀給出下列問題。

　　如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DD′，連結(jié)AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？

　�。ū竟�(jié)課開展到這里，學生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎(chǔ)）

　�。酆献魈骄浚�

　　師同學們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？

　　生可證△ACD ∽△BCD,所以可得。

　　生由射影定理也可得。

　　師這兩位同學回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？

　　生表示半弦長，表示半徑長。

　　師半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？

　　生由半徑大于半弦可得。

　　師這位同學回答得是否很嚴密？

　　生當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式(a＞0,b＞0)。

　　課堂小結(jié)

　　師本節(jié)課我們研究了哪些問題？有什么收獲？

　　生我們通過觀察分析第24屆國際數(shù)學家大會的會標得出了不等式a2+b2≥2ab。

　　生由a2+b2≥2ab,當a＞0，b＞0時，以、分別代替a、b，得到了基本不等式(a＞0,b＞0)。進而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式。

　　生在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式。

　　（此處，創(chuàng)造讓學生進行課堂小結(jié)的機會，目的是培養(yǎng)學生語言表達能力，也有利于課外學生歸納、總結(jié)等學習方法、能力的提高）

　　師大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實際情景中抽象出基本不等式。并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當且僅當a=b時等號成立。在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運用。

　　布置作業(yè)

　　活動與探究：已知a、b都是正數(shù)，試探索, ,,的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

　　分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達式的大小關(guān)系，再由不等式及實數(shù)的性質(zhì)證明。

　�。ǚ椒ǘ�）創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景。設(shè)AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。

　　板書設(shè)計

　　基本不等式的證明

　　一、實際情景引入得到重要不等式

　　a2＋b2≥2ab

　　二、定理

　　若a＞0，b＞0

　　課后作業(yè)：

　　證明過程探索：

基本不等式教學設(shè)計4

　　教學分析

　　本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展。在本節(jié)課的學習過程中，將讓學生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小。

　　通過本節(jié)課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用。對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程。即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來。

　　在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望。根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小。

　　在本節(jié)教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系。要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識。

　　三維目標

　　1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系。

　　2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍。

　　3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美。

　　重點難點

　　教學重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的'大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍。

　　教學難點：準確比較兩個代數(shù)式的大小。

　　課時安排

　　1課時

　　教學過程

　　導入新課

　　思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望，自然地引入新課。

　　思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系。這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢？讓學生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著。這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課。

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同。怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？

　　2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系。你能舉出一些實際例子嗎？

　　3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系？

　　4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系？

　　活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同。不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用符號“>”“b”“a

　　教師與學生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ�活中不等關(guān)系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系。在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容。

　　實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.

　　實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA

　　實例3：若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零。

　　實例4：兩點之間線段最短。

　　實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

　　實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.

　　實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

　　教師進一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但作為我們研究數(shù)學的人來說，能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢？學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系。那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子。如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。

　　教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來。實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數(shù)，則x≥0.實例5|AC|+|BC|>|AB|，如下圖。

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|

　　實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的。但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

　　對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論。

　　討論結(jié)果：

　　(1)(2)略；(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大。

　　(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b

　　應(yīng)用示例

　　例1(教材本節(jié)例1和例2)

　　活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法。

　　點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學生熟練掌握。

　　變式訓練

　　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )

　　A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

　　C.f(x)

　　答案：A

　　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

　　2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。

　　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　　∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

　　例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

　　(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

　　(2)a4-b4與4a3(a-b).

　　活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定。本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點。

　　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

　　∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

　　(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

　　=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

　　=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

　　∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]

　　∴a4-b4

　　點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號。變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用。

　　變式訓練

　　已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小。

　　活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系。

　　解：xy-1=x-yy.

　　∵x>y，∴x-y>0.

　　當y

　　當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

　　點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論。

　　例3建筑設(shè)計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積。但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好。試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由。

　　活動：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法。

　　解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a

　　由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.

　　所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了。

　　點評：一般地，設(shè)a、b為正實數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.

　　變式訓練

　　已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )

　　A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

　　C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

　　答案：A

　　解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

　　=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

　　∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.

　　又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

　　知能訓練

　　1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )

　　A.3 B.2 C.1 D.0

　　2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。

　　答案：

　　1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

　　∴只有①恒成立。

　　2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

　　課堂小結(jié)

　　1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法；從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中。

　　2.教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方。鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究。

　　作業(yè)

　　習題3—1A組3;習題3—1B組2.

　　設(shè)計感想

　　1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化。經(jīng)驗告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式。各種教學方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動。也就是說，世上沒有萬能的教學方法。針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥。

　　2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制。不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點。作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產(chǎn)生負面影響。

　　3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練。訓練學生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學教師直面的重要課題，也是中學數(shù)學的主線。采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化。變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升。

　　備課資料

　　備用習題

　　1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小。

　　2.試判斷下列各對整式的大�。�(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

　　3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .

　　4.若x

　　5.設(shè)a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小。

　　參考答案：

　　1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

　　=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

　　=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

　　2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

　　=m2-2m+5+2m-5

　　=m2.

　　∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

　　∴m2-2m+5≥-2m+5.

　　(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

　　=a2-4a+3+4a-1

　　=a2+2.

　　∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

　　∴a2-4a+3>-4a+1.

　　3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2

　　=1+x+x24-(x+1)

　　=x24，又∵x>0，∴x24>0.

　　∴(1+x2)2>(1+x)2.

　　由x>0，得1+x2>1+x.

　　4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

　　=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

　　=-2xy(x-y).

　　∵x0，x-y

　　∴-2xy(x-y)>0.

　　∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

　　5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，當a>b>0時，ab>1，a-b>0，則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.

　　當b>a>0時，0

　　則(ab)a-b>1.

　　于是aabb>abb a.

　　綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.

基本不等式教學設(shè)計5

　　一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

　　本節(jié)課是北師大版高中數(shù)學必修5中第三章第4節(jié)的內(nèi)容。主要是二元均值不等式。它是在系統(tǒng)地學習了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續(xù)的學習奠定基礎(chǔ)。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的�；�本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的優(yōu)良素材，所以基本不等式應(yīng)重點研究。

　　教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。

　　就知識的應(yīng)用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導中所蘊涵的數(shù)學思想方法如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均有著廣泛的應(yīng)用；另外，在解決函數(shù)最值問題中，基本不等式也起著重要的作用。

　　就內(nèi)容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納，有助于培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和探索精神，是培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合意識和提高數(shù)學能力的良好載體。

　　二、教學目標和目標解析

　　教學目標：了解基本不等式的幾何背景，能在教師的引導下探究基本不等式的證明過程，理解基本不等式的幾何解釋，并能解決簡單的最值問題；借助于信息技術(shù)強化數(shù)形結(jié)合的思想方法。

　　在教師的逐步引導下，能從較為熟悉的幾何圖形中抽象出基本不等式，實現(xiàn)對基本不等式幾何背景的初步了解。

　　學生已經(jīng)學習了不等式的基本性質(zhì)，可以運用作差法給出基本不等式的證明，同時，介紹并滲透分析法證明的思想方法，從而完成基本不等式的代數(shù)證明。

　　進一步通過探究幾何圖形，給出基本不等式的幾何解釋，加強學生數(shù)形結(jié)合的意識。

　　通過應(yīng)用問題的解決，明確解決應(yīng)用題的一般過程。這是一個過程性目標。借助例1，引導學生嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，體會和與積的相互轉(zhuǎn)化，進一步通過例2，引導學生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，并用幾何畫板展示函數(shù)圖形，進一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合變式訓練完善對基本不等式結(jié)構(gòu)的理解，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

　　三、教學問題診斷

　　在認知上，學生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識。但是，倘若教師不加以引導，學生并不能自覺地通過已有的知識、記憶去發(fā)展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，這就需要教師逐步地引導，并選用合理的手段去激活學生的`思維，增強數(shù)形結(jié)合的思想意識。

　　另外，盡可能引領(lǐng)學生充分理解兩個基本不等式等號成立的條件，為利用基本不等式解決簡單的最值問題做好鋪墊。在用基本不等式解決最值時，學生往往容易忽視基本不等式,使用的前提條件a,b>0同時又要注意區(qū)別基本不等式的使用條件為,因此，在教學過程中，借助例題落實學生領(lǐng)會基本不等式成立的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用。而對于“一正二定三相等”的進一步強化和應(yīng)用，將放于下一個課時的內(nèi)容。

　　四、教學支持條件分析

　　為了能很好地展示幾何圖形,體會基本不等式的幾何背景,教學中需要有具體的圖形來幫助學生理解基本不等式的生成，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，所以，借助于幾何畫板軟件來加強幾何直觀十分必要，同時演示動畫幫助學生驗證基本不等式等號取到的情況，并用電腦3D技術(shù)展示基本不等式的又一幾何背景，加深對基本不等式的理解，增強教學效果。

　　五、教學設(shè)計流程圖

　　教學過程的設(shè)計從實際的問題情境出發(fā)，以基本不等式的幾何背景為著手點，以探究活動為主線，探求基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，并進一步給出幾何解釋，深化對基本不等式的理解。通過典型例題的講解，明確利用基本不等式解決簡單最值問題的應(yīng)用價值。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個教學過程，并時刻體現(xiàn)在教學活動之中。

　　六、教法和預期效果分析

　　本節(jié)課通過6個教學環(huán)節(jié)，強調(diào)過程教學，在教師的引導下，啟動觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動，從各個層面認識基本不等式，并理解其幾何背景。課堂教學以學生為主體，基本不等式為主線，在學生原有的認知基本上，充分展示基本不等式這一知識的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過程。

　　同時，以多媒體課件作為教學輔助手段，賦予學生直觀感受，便于觀察，從而把一個生疏的、內(nèi)在的知識，變成一個可認知的、可交流的對象，提高了課堂效率。

　　通過這節(jié)課的學習，引領(lǐng)學生多角度、多方位地認識基本不等式，并了解它的幾何意義充分滲透數(shù)形結(jié)合的思想；能在教師的引導下，主動探索并了解基本不等式的證明過程，強化證明的各類方法；

　　會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題并注意等號取到的條件。在教學過程中始終圍繞教學目標進行評價，師生互動，在教學過程的不同環(huán)節(jié)中及時獲取教學反饋信息，以學生為主體，及時調(diào)節(jié)教學措施，完成教學目標，從而達到較為理想的教學效果。

基本不等式教學設(shè)計6

　　一、教材分析

　　1、本節(jié)課的地位、作用和意義

　　基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師范大學出版社出版)必修5，第3章第3節(jié)內(nèi)容。學生在初中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節(jié)學習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節(jié)課提供了堅實的基礎(chǔ)；基本不等式是后面基本不等式與最大（�。┲档幕�礎(chǔ)，在高中數(shù)學中有著比較重要的地位，在工業(yè)生產(chǎn)等有比較廣的實際應(yīng)用。

　　2、本節(jié)課的教學重點和難點

　　我通過解讀新課標和分析教材，認為：

　　重點：通過對新課程標準的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認為結(jié)果固然重要，但數(shù)學學習過程更重要，它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應(yīng)用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關(guān)鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。

　　突出重點的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導啟發(fā)法來突出均值不等式的推導；用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調(diào)均值不等式和其成立的條件），變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。

　　難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應(yīng)用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的.條件是本節(jié)課的難點。

　　突破難點的方法：我將采用用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調(diào)均值不等式和其成立的條件），變式教學等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。

　　二、教學目標分析

　　1、知識與技能目標

　�。�2）理解的幾何意義。

　�。�3）能3分鐘內(nèi)寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準確率為95%

　　2、過程方法與能力目標

　�。�1）探索并了解均值不等式的證明過程。

　　（2）體會均值不等式的證明方法。

　　3、情感、態(tài)度、價值觀目標

　�。�1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。

　�。�2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，勇于提出問題、分析問題的習慣�！疤骄俊被�本不等式的證明（1）

　　【三維目標】：

　　一、知識與技能

　　1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

　　2.會用基本不等式解決簡單的最大（�。┲祮栴}；

　　二、過程與方法

　　三、情感、態(tài)度與價值觀

　　1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

　　【教學重點與難點】：

　　【學法與教學用具】：

　　2.教學用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）

　　【授課類型】：新授課

　　【課時安排】：1課時

　　【教學思路】：

　　一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

　　1.提問：與哪個大？

　　2.基本不等式的幾何背景：

　　如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導學生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）。

　　二、研探新知

　　重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)、，我們有，當且僅當時，等號成立。

　　證明:

　　所以

基本不等式教學設(shè)計7

　　各位評委老師，上午好，我選擇的課題是必修5第三章第四節(jié)《基本不等式》第一課時。關(guān)于本課的設(shè)計，我將從以下五個方面向各位評委老師匯報。

　　一、教材分析

　　◆本節(jié)教材的地位和作用

　　◆教學目標

　　◆教學重點、難點

　　1、本節(jié)教材的地位和作用

　　"基本不等式"是必修5的重點內(nèi)容，在課本封面上就體現(xiàn)出來了（展示課本和參考書封面）。它是在學完"不等式的性質(zhì)"、"不等式的解法"及"線性規(guī)劃"的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究。在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值又是高考的熱點。同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)。

　　2、教學目標

　�。�1）知識目標：探索基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決最值問題。

　　（2）能力目標：培養(yǎng)學生觀察、試驗、歸納、判斷、猜想等思維能力。

　�。�3）情感目標：培養(yǎng)學生嚴謹求實的科學態(tài)度，體會數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，領(lǐng)略數(shù)學的應(yīng)用價值，激發(fā)學生的學習興趣和勇于探索的精神。

　　3、教學重點、難點

　　根據(jù)課程標準制定如下的教學重點、難點

　　重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索基本不等式。

　　難點：基本不等式的內(nèi)涵及幾何意義的挖掘，用基本不等式求最值。

　　二、教法說明

　　本節(jié)課借助幾何畫板，使用多媒體輔助進行直觀演示。采用啟發(fā)式教學法創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學生開始嘗試活動。運用生活中的實際例子，讓學生享受解決實際問題的樂趣。課堂上主要采取對比分析；讓學生邊議、邊評；組織學生學、思、練。通過師生和諧對話，使情感共鳴，讓學生的潛能、創(chuàng)造性最大限度發(fā)揮，使認知效益最大。讓學生愛學、樂學、會學、學會。

　　三、學法指導

　　為更好的貫徹課改精神，合理的對學生進行素質(zhì)教育，在教學中，始終以學生主體，教師為主導。因此我在教學中讓學生從不同角度去觀察、分析，指導學生解決問題，感受知識的形成過程，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的意識和能力，讓學生學會學習。

　　四、教學設(shè)計

　　◆運用2002年國際數(shù)學家大會會標引入

　　◆運用分析法證明基本不等式

　　◆不等式的幾何解釋

　　◆基本不等式的應(yīng)用

　　1、運用2002年國際數(shù)學家大會會標引入

　　如圖，這是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標。會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的`明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。（展示風車）

　　正方形ABCD中，AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,設(shè)AE=a,BE=b,則正方形的面積為S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它們的面積之和是S’=_

　　從圖形中易得，s≥s’，即

　　問題1:它們有相等的情況嗎？何時相等？

　　問題2:當a,b為任意實數(shù)時，上式還成立嗎？（學生積極思考，通過幾何畫板幫助學生理解）

　　一般地，對于任意實數(shù)a、b,我們有

　　當且僅當（重點強調(diào)）a=b時，等號成立（合情推理）

　　問題3:你能給出它的證明嗎？（讓學生獨立證明）

　　設(shè)計意圖

　�。�1）運用2002年國際數(shù)學家大會會標引入，能讓學生進一步體會中國數(shù)學的歷史悠久，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系。

　　（2）運用此圖標能較容易的觀察出面積之間的關(guān)系，引入基本不等式很直觀。

　�。�3）三個思考題為學生創(chuàng)造情景，逐層深入，強化理解。

　　2、運用分析法證明基本不等式

　　如果a>0,b>0 ,用和分別代替a,b可以得到

　　也可寫成

　�。◤娬{(diào)基本不等式成立的前提條件"正"）（演繹推理）

　　問題4:你能用不等式的性質(zhì)直接推導嗎？

　　要證①

　　只要證②

　　要證② ,只要證③

　　要證③ ,只要證④

　　顯然，④是成立的。當且僅當a=b時，不等式中的等號成立。

　�。◤娬{(diào)基本不等式取等的條件"等"）

　　設(shè)計意圖

　　（1）證明過程課本上是以填空形式出現(xiàn)的，學生能夠獨立完成，這也能進一步培養(yǎng)學生的自學能力，符合課改精神；

　�。�2）證明過程印證了不等式的正確性，并能加深學生對基本不等式的理解；

　　（3）此種證明方法是"分析法",在選修教材的《推理與證明》一章中會重點講解，此處有必要讓學生初步了解。

　　3、不等式的幾何解釋

　　如圖，AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE,連AD,BD,則CD= ,半徑為

　　問題5:你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎？（學生積極思考，通過幾何畫板幫助學生理解）

　　設(shè)計意圖

　　幾何直觀能啟迪思路，幫助理解，因此，借助幾何直觀學習和理解數(shù)學，是數(shù)學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。

　　4、基本不等式的應(yīng)用

　　例1.證明

　�。▽W生自己證明）

　　設(shè)計意圖

　�。�1）這道例題很簡單，多數(shù)學生都會仿照課本上的分析思路重新證明，能夠練習"分析法"證明不等式的過程；

　　（2）學生能夠加深對基本不等式的理解，a和b不僅僅是一個字母，而是一個符號，它們可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一個多項式；

　　（3）此例不是課本例題，比課本例題簡單，這樣，循序漸進，有利于學生理解不等式的內(nèi)涵。

　　例2:（1）把36寫成兩個正數(shù)的積，當兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最��？

　�。�2）把18寫成兩個正數(shù)的和，當兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？

　　（讓學生分組合作、探究完成）

　　設(shè)計意圖

　　（1）此題目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，體現(xiàn)了基本不等式的應(yīng)用價值；

　�。�2）強調(diào)利用不等式求最值的關(guān)鍵點："正""定""等";

　�。�3）有利于培養(yǎng)學生團結(jié)合作的精神。

　　練習:（1）若a,b同號，則

　�。�2）P113練習1.2

　　設(shè)計意圖

　　鞏固基本不等式，讓學生熟悉公式，并學會應(yīng)用。

　　小結(jié)：（讓學生暢所欲言）

　　設(shè)計意圖

　　有利于發(fā)揮學生的主觀能動性，突出學生的主體地位。

　　作業(yè)：必做題：P 113 A組3、4

　　選做題：

　　設(shè)計意圖

　�。�1）必做題是讓學生鞏固所學知識，熟練公式應(yīng)用，強化學生基礎(chǔ)知識、基本技能的形成；

　�。�2）選做題達到分層教學的目的，根據(jù)學生的實際情況，對他們進行素質(zhì)教育。

　　時間安排：引入約5分鐘

　　證明基本不等式約10分鐘

　　幾何意義約10分鐘

　　知識應(yīng)用約15分鐘

　　小結(jié)約5分鐘

　　五、板書設(shè)計

　　分析法證明

　　幾何解釋

　　例題講解

　　小結(jié)

　　作業(yè)

　　例2

　　以上是我對這節(jié)課的教學設(shè)計，懇請各位評委老師指導，謝謝！

基本不等式教學設(shè)計8

　　知識與技能：

　　理解并掌握不等式的三個性質(zhì)，能運用性質(zhì)，用不等號連接某些代數(shù)式，進行不等式的變形。

　　過程與方法：

　　經(jīng)歷自主學習，小組交流合作學習，以及課堂上的成果，培養(yǎng)學生自主分析問題，解決問題的能力，養(yǎng)成與他人交流，共同學習，共同進步的學習方法。

　　情感態(tài)度與價值觀：在自主分析，交流合作，成果的活動中，感受學習的樂趣，體會與人合作的快樂。

　　教學難點：

　　正確運用不等式的性質(zhì)。

　　教學重點：

　　理解并掌握不等式的性質(zhì)3。

　　教學過程：

　　一、創(chuàng)設(shè)情境引入新課

　　利用一臺平衡的天平提出問題，引入新課

　　1、給不平衡的天平兩邊同時加入相同質(zhì)量的砝碼，天平會有什么變化？

　　2、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質(zhì)量的砝碼，天平會有什么變化？

　　3、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質(zhì)量同時擴大相同的倍數(shù)，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數(shù)呢？通過天平演示，結(jié)合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關(guān)系。

　　二、合作交流探究新知

　　1、問題情景：數(shù)學老師比語文老師年齡小。

　　1、10年后誰的年齡大？

　　2、20年之后呢？

　　3、5年之前呢？

　　假設(shè)數(shù)學，語文兩位老師的年齡分別為a，b，則a

　　a+10

　　a+20

　　a—5

　　2、探索與發(fā)現(xiàn)

　　一組：已知5>3，則5+2 3+2

　　5—2 3—2

　　二組：已知—1

　　—1—33—3

　　想一想不等號的方向改變嗎？

　　3、歸納：不等式的性質(zhì)1：

　　不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變

　　如果a＜b，那么a+c

　　如果a＞b，那么a+c >b+c，a—c >b—c。

　　不等號方向不改變！

　　4、大膽猜想

　　不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變

　　不等式兩邊都加（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變

　　不等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（不為零），不等號的方向呢？

　　5、探索與發(fā)現(xiàn)

　　已知4

　　一組：4×2 6×（—2）；

　　4÷26÷（—2）。

　　思考不等號方向改變嗎？

　　不等式兩邊都乘（或除以）一個不為零的數(shù)，不等號方向改不改變和什么有關(guān)？

　　6、不等式的性質(zhì)2：

　　不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

　　如果a>b，且c>0，那么ac>bc，如果a0，那么ac

　　7、不等式的性質(zhì)3：

　　不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的'方向改變。

　　如果a>b，且c

　　如果a

　　三、鞏固提高拓展延伸

　　例1：判斷下列各題的推導是否正確？為什么（學生口答）

　�。�1）因為7.5＞5.7，所以—7.5＜—5.7；

　�。�2）因為a+8＞4，所以a＞—4；

　�。�3）因為4a＞4b，所以a＞b；

　�。�4）因為—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；

　�。�5）因為3＞2，所以3a＞2a．

　�。�1）正確，根據(jù)不等式基本性質(zhì)3．

　�。�2）正確，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1．

　�。�3）正確，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2．

　�。�4）正確，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1．

　�。�5）不對，應(yīng)分情況逐一討論．

　　當a＞0時，3a＞2a．（不等式基本性質(zhì)2）

　　當a=0時，3a=2a．

　　當a＜0時，3a＜2a．（不等式基本性質(zhì)3）

　　考考你！0>4，哪里錯了？

　　已知m>n，兩邊都乘以4，得4m>4n，兩邊都減去4m，得0>4n—4m，即0>4（n—m），兩邊同時除以（n—m），得0>4。

　　等式與不等式的性質(zhì)

　　1、不等式的三個性質(zhì)。

　　2、等式與不等式的性質(zhì)對比。

　　先前后比較，再定不等號

　　四、總結(jié)歸納

　　1、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的不同之處；

　　2、在運用“不等式性質(zhì)3"時應(yīng)注意的問題．學生通過總結(jié)，可以幫助自己從整體上把握本節(jié)課所學知識培養(yǎng)良好的學習習慣，也為下節(jié)課學好解不等式打下基礎(chǔ)。

　　五、布置作業(yè)

　　1、必做題：教科書第134頁習題9.1第4、5題

　　2、選做題：教科書第134頁習題9。 1第7題．

基本不等式教學設(shè)計9

　　一、教學設(shè)計理念：

　　這節(jié)課的目標定位分為三個層面：

　　本節(jié)課我設(shè)計了五個環(huán)節(jié)：

　�、僮兘虒W生學會知識為指導學生會學知識；

　　導入新課

　　師同學們能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？?

　　【三維目標】：

　　一、知識與技能

　　二、過程與方法

　　本節(jié)課是基本不等式應(yīng)用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進行求解這個中心。

　　三、情感、態(tài)度與價值觀

　　1.引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德。

　　【三維目標】：

　　一、知識與技能

　　二、過程與方法

　　三、情感、態(tài)度與價值觀

　　1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

　　二、重點、難點解讀

　　三、知識點精析

　　一、教學目標

　　1．知識與技能

　　探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式

　　2．過程與方法

　　通過對基本不等式的`不同角度的探究，滲透數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．

　　3．情感、態(tài)度與價值觀：

　　三、教學資源普通高中數(shù)學課程標準（實驗）人教a版教材必修5

　　中學數(shù)學周刊20xx年第10期百度

　　四、教學方法與手段

　　啟發(fā)學生探究，多媒體輔助教學

　　五、教學過程

　　（一）創(chuàng)設(shè)情境：

　　你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

　　設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境，為問題的引出做鋪墊

　�。ǘ�）新知探究：圖1

　　將風車抽象成圖2

　　當直角三角形變?yōu)榈妊�直角三角�?圖2

　　即時,正方形efgh縮為一個點,這時有

　　2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

　　【教學重點】

　　應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；

　　【教學難點】

　　基本不等式等號成立條件

　　【教學過程】

　　1.課題導入

　　基本不等式的幾何背景：

　　教師引導學生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系

　　2.講授新課

　　1．探究圖形中的不等關(guān)系

　　將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。

　　當直角三角形變?yōu)榈妊�直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有。

　　2．得到結(jié)論：一般的，如果

　　3．思考證明：你能給出它的證明嗎？

基本不等式教學設(shè)計10

　　各位評委老師，上午好！我是來應(yīng)聘高中數(shù)學的一號考生，我今天說課的題目是《基本不等式》，下面我將從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學過程，說板書設(shè)計六個方面展開我的說課，下面開始我的說課！

　一、說教材。

　　1教材的地位和作用：

　　《基本不等式》是人教版高中數(shù)學必修五第三章第四節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)主要內(nèi)容是基本不等式的證明和簡單應(yīng)用。它是在學完不等式性質(zhì)，不等式的解法及線性規(guī)劃等知識的基礎(chǔ)上，對不等式的進一步研究，在不等式的證明和求最值的過程中有著廣泛的應(yīng)用。

　　2教學目標：

　　（1）知識與技能：學生能寫出基本不等式，會應(yīng)用基本不等式解決相關(guān)問題。

　�。�2）過程與方法：學生通過觀察圖形，推導、證明等過程，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、

　　總結(jié)的能力。

　�。�3）情感態(tài)度與價值觀：學生領(lǐng)略數(shù)學的實際應(yīng)用價值，感受數(shù)學學習的樂趣。

　　3教學重難點：

　　重點：理解基本不等式的本質(zhì)并會解決實際問題。

　　難點：基本不等式幾何意義的理解。

　　二、說學情。

　　為了更好地實現(xiàn)教學目標，我將對學生情況進行一下簡要分析。對于高一年級的學生來說，他們對不等式的知識有了一定的.了解，但對基本不等式的理解運用能力不足。這一階段的學生正處在由抽象思維到邏輯思維的過渡期，對圖形的觀察、分析、總結(jié)可能會感到比較困難。這都將成為我組織教學的考慮因素。

　　三、說教法。

　　科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍，達到教育學的和諧完美與統(tǒng)一。根據(jù)本節(jié)課的特點并結(jié)合新課改的要求，在本節(jié)課中，我將采用講授法、演示法、引導啟發(fā)法等教學方法。

　　四、說學法。

　　教師的教是為了學生更好地學，結(jié)合本節(jié)內(nèi)容，我將學法確定為自主探究法、分析歸納

　　法。充分調(diào)動學生的眼、手、腦等多種感官參與學習，既培養(yǎng)了他們的學習興趣，又使他們感受到了學習的樂趣。

　　五、說教學過程。

　　首先，我將利用多媒體戰(zhàn)士20xx年國際數(shù)學家大會的會標，讓同學們邊觀察邊思考：圖上有哪些相等或不等關(guān)系？通過展示來激發(fā)學生的學習興趣。接下來是新授環(huán)節(jié)。

　　我將會標抽象成幾何圖形，正方形ABCD中有4個全等的直角三角形，讓學生自主探究，比較三角形面積之和與正方形面積的大小，從而讓學生自主推導出不等式a 2+b 2>2ab，再通過引導啟發(fā)，讓學生自己將結(jié)論補充完整。接下來，我會提問：你們能給出它的證明嗎？給兩分鐘的時間讓學生自主探究。然后用講授法給出基本不等式的常用形式ab≤a+b(a>0,b>0)，并給出具體的證明過程，強調(diào)等號成立的條件�；�本不2

　　等式的證明是本節(jié)課的重點，先通過學生的自主探究，再通過我的講授，學生可以更快地理解這一知識點。接下來是探究基本不等式的幾何意義。先由學生自主思考兩分鐘的時間，然后通過我的講授，讓學生理解基本不等式的幾何意義，最后通過幾何畫板動態(tài)演示，讓學生更直觀地感受基本不等式的幾何意義。這樣就突破了基本不等式的幾何意義這一難點。接下來是鞏固練習環(huán)節(jié)。

　　這個環(huán)節(jié)，我將利用兩個例題對剛才所講的知識進行鞏固練習。

　　例1：證明

　�。�1）x +1≥2(x >0) x

　�。�2）a +1≥2a (a ≥0)

　　例2：

　�。�1）用籬笆圍一個面積為100m的矩形菜園。問矩形長寬各為多少時，所用籬笆最短？

　�。�2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問長寬各為多少時面積最大？第一個例題不是課本例題，它比課本例題簡單，這樣循序漸進，有利于學生理解不等式的內(nèi)涵，此處a、b不僅僅是一個字母，而是一個符號，可以是具體數(shù)字，也可以是一個多項式。對于這個例題，多數(shù)學生會仿照課本上的思路用分析法進行證明。

　　第二個例題是利用基本不等式求最值進而解決實際問題，體現(xiàn)了基本不等式的應(yīng)用價值，而且例題包含了公式的正向應(yīng)用和逆向應(yīng)用，鍛煉了學生的靈活使用能力。

　　下面是小結(jié)環(huán)節(jié)。我將讓學生用兩分鐘的時間回顧本節(jié)課所學習的內(nèi)容，并自己總結(jié)出本節(jié)的知識點。這樣不但能鞏固本節(jié)所學知識，而且能培養(yǎng)學生分析、歸納、總結(jié)的能力。22

　　然后是布置作業(yè)。為了在課后對所學的知識進行鞏固，我將布置課后習題第2題，第4題作為練習題。

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